Mathematica Eterna
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Abstrato

Na ligação entre valores da função zeta de Riemann em números racionais e harmónicos generalizados

PaweËœJ. SzabËœowski

Usando a transformação de Euler de séries, relacionamos os valores da função zeta de Hurwitz (s; t) em valores inteiros e racionais de argumentos a certas séries de convergência rápida, onde aparecem alguns números harmónicos generalizados. A maioria dos resultados do artigo pode ser derivada de resultados recentes e mais avançados sobre as propriedades das funções zeta de Arakawa-Kaneko. Derivamos os nossos resultados diretamente, resolvendo recursões simples. A forma dos números harmónicos generalizados acima mencionados transporta informação sobre os valores dos argumentos da função de Hurwitz. Em particular provamos: 8k 2 N : (k; 1) = (k) = 2 k1 2 k11 P1 n=1 H (k1) n n2n ; onde H (k) n são definidos abaixo de números harmónicos generalizados, ou que K = P1 n=0 n!(H2n+1Hn=2) 2(2n+1)!! ; onde K denota a constante de Calatan e Hn denota o enésimo número harmónico (comum). Além disso, mostramos que a função geradora dos números ^ (k) = P1 j=1(1)j1=jk , k 2 N e ^ (0) = 1=2 é igual a B(1=2; 1 y; 1 + y) em que B(x; a; b) denota beta incompleto